[¯|¯] Una massa M scivolando su un piano inclinato trascina una massa m

giovedì, Novembre 15th, 2018

piano inclinato,attrito,carrucola,accelerazione,filo inestensibile — **Fig. 1**

Esercizio
Lungo un piano inclinato di α sull'orizzontale può scendere strisciando un corpo di massa M che, attraverso un filo inestensibile e di massa nulla, provoca la risalita di una massa m. Supponendo di poter trascurare le perturbazioni indotte dalla puleggia su cui scorre il filo e della resistenza dell'aria, si calcoli l'accelerazione della massa M sapendo che il coefficienti di attrito dinamico con il piano è µ. Determinare, poi, la tensione del filo. Infine, supponendo di poter variare l'angolo di inclinazione, per quale valore di α il sistema è in equilibrio (ammettendo che sia inizialmente fermo)?
Dati: M=10kg ,m=1kg ,α=45°,µ=0.5.

Soluzione

Adottiamo un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy come in fig. 1. Su M agiscono le forze:

P=mg (forza peso)
R_N (reazione normale del vincolo).
R_T(reazione tangenziale del vincolo (attrito)).
T (tensione del filo).

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[¯|¯] Oscillazioni libere con attrito. Implementazione in Mathematica

martedì, Marzo 21st, 2017

oscillatore armonico smorzato,decremento logaritmico,resistenza passiva,attrito — Fig. 1. Nell'oscillatore in alto, le forze di attrito sono dominanti, per cui nila particella non compie oscillazioni. Al centro una situazione simile, ma critica. L'oscillatore in basso compie oscillazioni esponenzialmente smorzate.

Ora che abbiamo compreso appieno la fisica del problema delle oscillazioni smorzate, ed aver risolto analiticamente l'equazione differenziale del moto per assegnate condizioni iniziali, possiamo affidarci a un software di calcolo simbolico/numerico come ad esempio, Mathematica. A tale scopo, riscriviamo l'equazione che ci interessa:

con le condizioni iniziali:
oscillatore armonico smorzato,decremento logaritmico,resistenza passiva,attrito

L'equazione differenziale è controllata dai parametri:

Dal momento che dobbiamo ricostruire in software l'evoluzione dinamica dell'oscillatore, è preferibile fissare una volta per tutte il valore di τ, lasciando come parametro la costante di tempo τ₀. Fisicamente, ciò equivale ad assegnare la forza di attrito e variare la costante elastica della molla. In tal caso è possibile ricostruire i tre casi: