» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Oscillazioni smorzate con legge esponenziale. Decremento logaritmico

martedì, Marzo 21st, 2017

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Caso oscillatorio smorzato (b < b_crit)

Prima di affrontare il caso n. 3 (oscillazioni smorzate), sintetizziamo i risultati raggiunti , in modo da comprendere la fisica che c'è dietro questo problema matematico. Innanzitutto riscriviamo l'equazione differenziale del moto nella forma:

Ricordiamo che τ=(2m)/b è la costante di tempo della resistenza passiva, quindi delle forze di attrito. Abbiamo poi introdotto una nuova grandezza avente le dimensioni di un tempo:

legata al periodo T₀ delle oscillazioni armoniche in assenza di attrito, dalla relazione:

In altri termini, la grandezza τ₀ fissa la scala dei tempi delle oscillazioni caratteristiche del sistema. Ne consegue che le condizioni di aperiodicità e di criticità si riscrivono:

τ<τ₀ significa che le forze di attrito sono più "efficienti" della forza elastica, giacché hanno una scala dei tempi minore. Per τ=τ₀ si ha, invece, un equilibrio che da luogo al caso "critico" in cui il moto non è ancora oscillante.
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[¯|¯] Oscillazioni smorzate. Il caso critico (oscillatore criticamente smorzato)

lunedì, Marzo 20th, 2017

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Caso critico (b=b_crit)

L'equazione caratteristica ha una sola radice reale:

per cui un sistema di integrali fondamentali è

Pertanto l'integrale generale dell'equazione differenziale dell'oscillatore armonico smorzato si scrive:

Derivando otteniamo la velocità

Imponendo le condizioni iniziali

si perviene al sistema:

da cui

Quindi l'integrale particolare che ci interessa è:

e la velocità

Assumendo una velocità iniziale nulla le equazioni precedenti si scrivono:

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