La funzione zeta nel campo reale. Studio di un integrale generalizzato

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La funzione zeta nel campo reale. Studio di un integrale generalizzato

mercoledì, Settembre 22nd, 2021

funzione zeta nel campo reale,funzione gamma — **Fig. 1**

In una lezione precedente abbiamo incontrato la funzione euleriana gamma:

Definiamo la funzione zeta nel campo reale:

Dimostriamo
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Prodotto di Eulero. La funzione euleriana gamma

martedì, Settembre 21st, 2021

prodotto di Eulero,funzione euleriana gamma,n fattoriale

In questa breve nota (liberamente tratta da Riemann's Zeta Function), esaminiamo l'aspetto storico della famigerata ipotesi di Riemann che è il più importante problema aperto della matematica (si ricordi che è in palio un premio di un milioni di dollari).

Partiamo da una semplice dimostrazione del prodotto di Eulero, di cui un immediato corollario è l'infinità dei numeri primi. Segue la definizione della funzione Π(s) che estende il fattoriale di n al campo reale. In ciò riconosciamo la funzione euleriana che Legendre denotò con Γ(s) ma che differisce dalla precedente. L'estensione al campo complesso è poi immediata, con le varie proprietà enunciate ma non dimostrate.

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