La funzione logaritmo integrale e la legge di distribuzione dei numeri primi. Da Gauss a Riemann

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La funzione logaritmo integrale e la legge di distribuzione dei numeri primi. Da Gauss a Riemann

giovedì, Dicembre 1st, 2022

logaritmo integrale,numeri primi, gauss, riemann — **Fig. 1.**

Per un'esposizione divulgativa c'è questo video.

Nel campo reale la funzione logaritmo integrale è definita da

L'estremo inferiore di integrazione x=0 non dà problemi perchè la funzione integranda ha ivi una discontinuità eliminabile:

Nella seguente figura riportiamo il grafico della funzione integranda, da cui vediamo che ha derivata infinita per t?0?. Per un assegnato x, la funzione li(x) restituisce l'area del rettangoloide relativo alla funzione 1/ln t e di base [0,x] come illustrato nella figura a seguire.

La funzione logaritmo integrale è interessante perché permette di eseguire una stima del numero di primi in [0,x]. Più precisamente, ricordiamo che la distribuzione dei primi è data dalla p(x) che allo stato attuale delle conoscenze, è ignota (nel senso che non si conosce la sua espressione analitica). Tale funzione è di libreria per molti software del tipo Mathematica. Ad esempio per x in [0,9], Mathematica restituisce il grafico

da cui notiamo le discontinuità di prima specie per x=p_n essendo p_n l'n-esimo primo. Espandendo l'intervallo di definizione si ha il grafico di figura

Un'ulteriore espansione quasi costringe la funzione p(x) ad assumere un comportamento continuo nel senso che non sono più visibili «a occhio» le discontinuità

Una stima molto rozza di π(x) è data da

da come risulta confrontando i grafici di figura:

Gauss trovò come migliore approssimazione della p(x), proprio la funzione logaritmo integrale. La migliore approssimazione non è apprezzabile a breve range, come vediamo dal grafico:

ma lo è a largo range

A sua volta, Riemann fornì una stima migliore con la seguente funzione:

dove µ(n) è la funzione di Möbius, così definita:

Ci si può svincolare dalla funzione di Möbius e dalla logaritmo-integrale, utilizzando un'espressione equivalente nota come serie di Gram:

dove ζ è la funzione zeta di Riemann. In fig. 1 plottiamo animatamente π(x) confrontata con la somma parziale di ordine 100 della serie di Gram.
Di seguito un unico plot:

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Risolto dopo 150 anni uno dei più grandi problemi matematici

martedì, Novembre 23rd, 2021

ipotesi di riemann,Giuseppe Mussardo,Andrè Leclair, — **Fonte dell'immagine ANSA**

Traduzione dell'abstract di quest'articolo.

La validità dell'Ipotesi di Riemann (RH) sulla distribuzione degli zeri non banali dell'omonima funzione zeta è direttamente correlata alla monotonia della funzione di Mertens

dove ε > 0 è assegnato ad arbitrio. Nel nostro lavoro mostriamo che questo comportamento può essere stabilito sulla base di un nuovo approccio probabilistico basato sulla proprietà globali della funzione di Mertens. A tale scopo focalizziamo l'attenzione sugli interi privi di quadrati e ricaviamo un insieme di risultati probabilistici riguardanti la distribuzione dei numeri primi lungo la serie di quadrati liberi, il numero medio dei divisori primi, il teorema di Erdos-Kac per i numeri senza quadrati, ecc.

Questi risultati portano alla conclusione che la funzione di Mertens è soggetta a una distribuzione normale allo stesso modo di un random walk. Presentiamo anche un argomento a favore della tesi che la validità dell'ipotesi di Riemann implica anche la validità dell'ipotesi di Riemann generalizzata per Funzioni L di Dirichlet. Successivamente studiamo le proprietà locali della funzione di Mertens, ovvero la sua variazione indotto da ogni coefficiente di Möbius ristretto ai numeri quadrati liberi.
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