Archive for the ‘meccanica razionale’ Category

Oscillatore armonico a frequenza variabile

giovedì, Settembre 30th, 2021

Oscillatore armonico a frequenza variabile


Impariamo a "maneggiare" gli oscillatori armonici a frequenza variabile. Analiticamente, si potrebbe applicare un approccio perturbativo in tutti e soli i casi in cui la parte dipendente dal tempo della frequenza angolare è trascurabilmente piccola rispetto al termine dominante costante. Viceversa, si integra numericamente l'equazione differenziale. È ciò che è stato fatto nel caso in esame, giacché la parte dipendente dal tempo aumenta esponenzialmente...
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Moto in un campo centrale. Seconda legge di Keplero

martedì, Settembre 28th, 2021

Moto in un campo centrale,lagrangiana
Fig. 1



Esercizi di Meccanica analitica elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.


Esercizio

Consideriamo due particelle interagenti per mezzo di una forza centrale (potenziale V(r) dove r è il modulo del vettore posizione; fig. 1.
a) Ottenere la lagrangiana del centro di massa e mostrare che l'energia e il momento angolare si conservano. Provare che il moto è in un piano e soddisfa la seconda legge di Keplero (il vettore posizione spazia aree uguali in tempi uguali).
b) Supporre che il potenziale sia


e che l'energia E sia conosciuta. Trovare le espressioni dei valori minimo e massimo che r assume nel corso del moto.


Soluzione

Poiché le forze agiscono sulle particelle sempre lungo la linea di separazione, il moto rimane confinato nel piano in cui le particelle inizialmente si sono mosse. Usiamo le coordinate polari con origine in fig. 1. Per definizione di centro di massa abbiamo


Quesito a
L'energia cinetica delle particelle è

Dall'equazione scritta più sopra, segue


dove

è la massa ridotta del sistema. L'energia potenziale è

Ne segue la lagrangiana

Pavendo assunto r2,θ come coordinate generalizzate. La lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, per cui


avendo usato le equazioni di Lagrange. Quindi:

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