Vibrazioni trasversali di una barra metallica

Novembre 3rd, 2021 | by Marcello Colozzo |

vibrazioni trasversali, barra metallica
Fig. 1



Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.


Esercizio

Si consideri una barra metallica verticale di densità lineare ?_{l} e lunghezza l incastrata ad una estremità (fig. 1). Si chiede:

a) di ricavare l'equazione differenziale relativa alle vibrazioni trasversali;
b) risolvere questa equazione differenziale usando il metodo delle serie di potenze e determinare la frequenza minima delle vibrazioni.


Soluzione

Quesito a

La tensione T, cui è sottoposta la barra, in una sezione x dall'origine O è data dal peso del tratto (l-x), e precisamente:


La forza d'inerzia, diretta come y, in un tratto Δx vale

che è l'equazione differenziale per piccole oscillazioni trasversali.
Quesito b

Per risolvere la predetta equazione differenziale, applichiamo il metodo di separazione delle variabili, cioè cerchiamo soluzioni:


per cui

Poiché il membro di sinistra dipende solo da t e quello di destra dipende solo da x, ciascuno sarà uguale ad una costante, che chiameremo -λ, essendo -λ > 0. Così otteniamo due equazioni differenziali ordinarie:


e le condizioni al contorno sono

Scriveremo allora


Quindi avremo

Sostituendo si ha

che diventa

per la quale scriveremo:

Quindi

ottenendo

Dalla condizione ξ(0)=0 possiamo scrivere

cioè l'equazione f(λl)=0 le cui radici λl consentono di calcolare le frequenze

in virtù dell'equazione differenziale

Risolviamo per n=2:

per cui l'equazione f(λl)=0 può essere risolta seguendo il metodo approssimato di Newton. Una radice ak+1 può essere calcolata così

Poiché

assumendo a1=0 abbiamo

Assumendo a3=1.5 come la più piccola radice positiva:


mentre la frequenza minima è

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