Integrali primi del moto

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Integrali primi del moto

giovedì, Aprile 15th, 2021

Il problema fondamentale della dinamica del punto materiale, consiste nel determinare il moto di un punto materiale P di massa m sottoposto a una forza F. Assegnata terna inerziale K(Oxyz), per il secondo principio della dinamica si ha:

dove x=xi+yj+zk è il vettore posizione di P rispetto alla predetta terna, mentre la funzione vettoriale a secondo membro esprime la legge della forza. Ne segue che l'equazione scritta sopra equivale a

che è un sistema di equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine nelle funzioni incognite x(t),y(t),z(t). Supponiamo assegnate le condizioni iniziali

In tal modo abbiamo un problema di Cauchy. Se le funzioni F_x,F_y,F_z sono sufficientemente regolari in modo da verificare le ipotesi del teorema di Cauchy--Lipschitz, il predetto problema è compatibile e determinato, ovvero esiste uno ed un solo integrale che soddisfi le condizioni iniziali assegnate. Ne segue che data la forza F, il punto P può compiere oo^6 moti. Tuttavia, comunque si fissino

esiste uno ed un solo moto x=x(t) tale che

Cioè, assegnata la legge della forza, esiste uno ed un solo moto in cui P occupi a t₀ un'assegnata posizione con una assegnata velocità.
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Seconda forma dell'equazione delle orbite

mercoledì, Aprile 14th, 2021

L'integrazione della prima forma dell'equazione delle orbite, restituisce la funzione r(φ?) ovvero l'equazione dell'orbita in coordinate polari. In molti problemi è conveniente eseguire un cambio di variabile (in modo da evitare la singolarità in r=0). Rammentiamo innanzitutto che l'anomalia φ?(t) è una funzione monotona; inoltre, per la regola di derivazione delle funzioni composte, si ha