Integrali primi del moto

Aprile 15th, 2021 | by Marcello Colozzo |

Il problema fondamentale della dinamica del punto materiale, consiste nel determinare il moto di un punto materiale P di massa m sottoposto a una forza F. Assegnata terna inerziale K(Oxyz), per il secondo principio della dinamica si ha:

dove x=xi+yj+zk è il vettore posizione di P rispetto alla predetta terna, mentre la funzione vettoriale a secondo membro esprime la legge della forza. Ne segue che l'equazione scritta sopra equivale a

che è un sistema di equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine nelle funzioni incognite x(t),y(t),z(t). Supponiamo assegnate le condizioni iniziali

In tal modo abbiamo un problema di Cauchy. Se le funzioni F_x,F_y,F_z sono sufficientemente regolari in modo da verificare le ipotesi del teorema di Cauchy--Lipschitz, il predetto problema è compatibile e determinato, ovvero esiste uno ed un solo integrale che soddisfi le condizioni iniziali assegnate. Ne segue che data la forza F, il punto P può compiere oo^6 moti. Tuttavia, comunque si fissino

esiste uno ed un solo moto x=x(t) tale che

Cioè, assegnata la legge della forza, esiste uno ed un solo moto in cui P occupi a t₀ un'assegnata posizione con una assegnata velocità.

Definizione
Sia x(t) un integrale del moto. Una funzione scalare

si dice che è costante sul predetto integrale, se

cioè se è costante la funzione composta le cui componenti interne sono l'integrale del moto e la sua derivata prima.

Definizione
Una funzione scalare

è un integrale primo del moto se è costante su ogni integrale del moto. In tal caso, la costante C dipende dalle condizioni iniziali, per cui assume valori diversi per moti diversi.

La conoscenza di un integrale primo riduce il costo computazionale per ciò che riguarda l'integrazione del sistema di equazioni differenziali del moto. In particolare, se f,g,h sono tre integrali primi indipendenti, il predetto sistema equivale a quest'altro