Una condizione a cui devono obbedire le orbite chiuse in un potenziale centrale

Aprile 7th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Fig. 1


Facciamo una sintesi. Per un andamento del potenziale efficace


del tipo di quello in fig. 1, si ha che l'angolo polare tra pericentro e apocentro è

Ricordiamo che gli estremi di integrazione sono le radici dell'equazione:

e deve essere

Cioè la particella è confinata in una buca di potenziale. Notiamo che la funzione integranda diverge in corrispondenza degli estremi di integrazione. Tuttavia l'integrale converge, in base a considerazioni già svolte nel caso dei moti unidimensionali (in sostanza, i predetti estremi sono punti di arresto con inversione del moto). È chiaro che rmin,rmax dipendono dall'energia meccanica E, per cui riscriviamo:


In altri termini, l'angolo tra pericentro e apocentro viene a dipendere dal valore dell'energia della particella. Ed è proprio ciò che ci si aspetta. Ad esempio Δφ(Ec)=0 dove Ec=Veff(rc}) essendo rc è il raggio dell'orbita circolare che come sappiamo, è il punto di minimo relativo del potenziale efficace. Tuttavia, come dimostrato in precedenza, per le orbite chiuse tale angolo non dipende da E. Per cui una condizione a cui devono obbedire le orbite chiuse è

che potrebbe portare alla dimostrazione di un importante teorema di Meccanica celeste (teorema di Bernard).

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