Superfici. Rappresentazione parametrica regolare

Dicembre 23rd, 2022 | by Marcello Colozzo |

rappresentazione parametrica di una superficie — **Fig. 1**

Link propedeutici:
Analisi matematica 1, Analisi matematica 2.

Nel caso delle curve abbiamo visto che una rappresentazione parametrica è una funzione vettoriale di una variaible reale t (parametro della rappresentazione) x=x(t) i.e. una terna ordinata di funzioni scalari:

È intuitivamente ovvio aggiungere un parametro per poter rappresentare una superficie di R³:

Queste equazioni istituiscono una corrispondenza tra i punti (u,v)?B e i punti della superficie S rappresentata parametricamente dalla predette equazioni, come illustrato in fig. 1. Alle linee coordinate u=u₀,v=v₀ - nello spazio B - corrispondono sulla superficie S, le curve:

come illustrato nella seguente figura:

Assumendo le x(u,v),y(u,v),z(u,v) parzialmente derivabili in B, costruiamo la matrice jacobiana della predetta rappresentazione

Definizione
La rappresentazione parametrica assegnata è una rappresentazione parametrica regolare di classe C^p (p >= 1), se
1) e funzioni x(u,v),y(u,v),z(u,v) sono di classe C^p in B, i.e. continue in B e ivi dotate di derivate parziali continue fino all'ordine p;
2) risulta

Si noti che la sola condizione di derivabilità delle predette funzioni ci permette di definire un vettore tangente alle u-curve e alle v-curve. Precisamente:

essendo

Ne segue che x_u(u₀,v₀) è un vettore tangente a Γ_u nel punto P₀(u₀,v₀). In maniera simile, x_v(u₀,v₀) è un vettore tangente a Γ_v nel medesimo punto, come illustrato in fig.

Siano L,M,N i minori del secondo ordine della matrice jacobiana ottenuti cancellando la prima, seconda e terza colonna, presi con segni alterni:

Segue

In maniera equivalente:

Ne segue che la richiesta rango(J)=2 si può esplicitare in questi due modi equivalenti:

Consideriamo, ad esempio, la rappresentazione parametrica

Le funzioni sono di classe C^oo. Scriviamo la matrice jacobiana, dopo aver calcolato le derivate

da cui rango(J)=2 e quindi la regolarità della rappresentazione. Passiamo alla rappresentazione ordinaria (cioè cartesiana). A tale scopo mettiamo a sistema