» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Il mistero delle "soluzioni fantasma" dell'equazione di Schrödinger

Sintesi dei risultati dell'handbook Introduzione al formalismo matematico della Meccanica quantistica

Una serie di dati empirici che hanno determinato la crisi della Fisica classica, è rappresentata dall'esistenza di una classe di sistemi meccanici per i quali l'evoluzione dinamica dello stato (q,dq/dt) ove q denota il vettore delle coordinate generalizzate, non è deterministica. Per tali sistemi si rinuncia a una descrizione in termini delle predette variabili, recuperando il determinismo fisico attraverso una grandezza vibrante complessa ψ(q,t) (i.e. funzione d'onda) soluzione dell'equazione d'onda di Schrödinger che in forma operatoriale dà luogo al seguente problema di Cauchy:

dove ψ è ora interpretabile come un vettore non nullo di un appropriato spazio di Hilbert, mentre H è un endomorfismo autoaggiunto del predetto spazio, che caratterizza e specifica univocamente il sistema meccanico assegnato. Per il teorema di esistenza ed unicità segue che tale problema di Cauchy ammette una ed una sola soluzione. Ne consegue che l'evoluzione dinamica del vettore ψ è univocamente determinata dal suo valore inziale ψ₀ e dall'operatore lineare H. Abbiamo poi visto che tale soluzione può essere scritta come:

che è un operatore unitario, per cui l'evoluzione temporale di un tale sistema è una trasformazione unitaria dello spazio di Hilbert associato al sistema medesimo. Il significato fisico della grandezza ψ è inglobato in una identità funzionale che nel caso di un sistema composto da una sola particella il cui numero di gradi di libertà è pari a 1, si scrive:

dove ρ(x,t) è la densità di probabilità di trovare la particella al tempo t in un intorno infinitesimo di x.
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[¯|¯] Introduzione al formalismo matematico della Meccanica quantistica. L'equazione di Schrödinger

Il formalismo matematico della Meccanica quantistica è estremamente complicato, in quanto richiede nozioni di analisi funzionale. Non a caso, Ettore Majorana scriveva nel 1938 nei suoi Appunti per la prolusione ai corsi:

Per esporre la meccanica quantistica nel suo stato attuale esistono due metodi pressoché opposti. L'uno è il cosiddetto metodo storico: ed esso spiega in qual modo, per indicazioni precise e quasi immediate dell'esperienza, sia sorta la prima idea del nuovo formalismo; e come questo si sia successivamente sviluppato in una maniera obbligata assai più dalla necessità interna che non del tenere conto di nuovi decisivi fatti sperimentali. L'altro metodo è quello matematico, secondo il quale il formalismo quantistico viene presentato fin dall'inizio nella sua più generale e perciò più chiara impostazione, e solo successivamente, se usato in maniera esclusiva, presenta inconvenienti molto gravi.
È un fatto che, quando sorse la meccanica quantistica, essa incontrò per qualche tempo presso molti fisici sorpresa, scetticismo e perfino incomprensione assoluta, e ciò soprattutto perché la sua consistenza logica, coerenza e sufficienza appariva, più che dubbia, inafferrabile. Ciò venne anche, benché del tutto erroneamente, attribuito a una particolare oscurità di esposizione dei primi creatori della nuova meccanica; ma la verità è che essi erano dei fisici, e non dei matematici, e che per essi l'evidenza e giustificazione della teoria consisteva soprattutto nell'immediata applicabilità ai fatti sperimentali che l'avevano suggerita.
[...]
Questi strumenti matematici in gran parte preesistevano al sorgere della nuova meccanica (come opera disinteressata di matematici che non prevedevano un così eccezionale campo di applicazione), ma la meccanica quantistica li ha «sforzati» e ampliati per soddisfare alle necessità pratiche.

In questo handbook ricaviamo l'equazione di Schrödinger per un sistema quanto-meccanico costituito da una particella di massa m che compie un moto unidimensionale. Il formalismo viene ricavato in maniera "quasi" intuitiva utilizzando nozioni di Analisi matematica, mostrando al contempo l'analisi funzionale quale evoluzione della prima nel senso che al posto del consueto spazio euclideo R^n considera "spazi funzionali" ovvero spazi in cui i "punti" sono funzioni. Di seguito gli argomenti:

La nozione di spazio funzionale

• Introduzione
• Moto di un punto nello spazio ordinario
• Lo spazio funzionale C([a,b])
• Endomorfismi in C^p([a,b])
• Autofunzioni e autovalori
• Polinomi di Legendre
• Polinomi di Hermite

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