Fusione fredda e problemi di Meccanica quantistica nonrelativistica

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Fusione fredda e problemi di Meccanica quantistica nonrelativistica

domenica, Febbraio 20th, 2022

Passando dal sistema di riferimento del laboratorio al sistema di riferimento del baricentro e della coordinata relativa, l'operatore hamiltoniano del sistema si scrive (nella base delle coordinate):

Lo spettro di tale operatore è puramente continuo:

mentre l'equazione agli autovalori si scrive:

L'esercizio dice che inizialmente il sistema è confinato in una regione di dimensioni lineari r₀. Ciò implica che lo stato iniziale (a t=0) è un autostato della posizione. Nell'algebra dei ket:

quindi

Utilizzando la completezza delle autofunzioni dell'energia si giunge facilmente allo sviluppo della funzione d'onda iniziale in una sovrapposizione di autofunzioni dell'energia:

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Ciclo protone-protone e l'effetto tunnel anomalo

martedì, Febbraio 15th, 2022

È risaputo che: "grazie all'elevata energia termica, due protoni riescono a penetrare la barriera di potenziale coulombiano per effetto tunnel".

Però, se prendiamo un qualunque testo di Meccanica quantistica, vediamo che nel caso di un gradino di potenziale di altezza H, la probabilità di attraversamento va come 1/H, per cui nel limite di H->+oo la probabilità è nulla. Fisicamente, significa che per una barriera di altezza infinita nemmeno la meccanica quantistica è in grado di far attraversare il potenziale. Questo risultato è molto ragionevole. Ora, se prendiamo la barriera coulmbiana il potenziale è tipo V(r)=1/r essendo r il modulo del vettore posizione relativa del protone 2 rispetto al protone 1 o viceversa, e "sedendosi" nel sistema di riferimento inerziale del baricentro del sistema di due protoni. Dunque, QUESTA BARRIERA è di altezza infinita, per cui non ci sarà mai un attraversamento. ANCHE SE l'espressione matematica è diversa. Infatti, una barriera rettangolare e infinita è del tipo delta di Dirac, cioè una funzione in senso improprio. La scelta è idealizzata perché è più semplice in questo modo risolvere l'equazione differenziale agli autovalori in quanto a coefficienti costanti. Diversamente, per il potenziale V(r)=1/r. Una ulteriore complicazione è che essendo in 3-dim. abbiamo un'equazione radiale che è diversa dalla Schrödinger 1-dim. oltre al termine angolare che possiamo supporre costante ipotizzando uno stato di momento angolare orbitale con l=0. Ma concettualmente è identico: la probabilità è nulla perché la barriera è infinitamente alta.
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