» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Ciclo protone-protone e l'effetto tunnel anomalo

È risaputo che: "grazie all'elevata energia termica, due protoni riescono a penetrare la barriera di potenziale coulombiano per effetto tunnel".

Però, se prendiamo un qualunque testo di Meccanica quantistica, vediamo che nel caso di un gradino di potenziale di altezza H, la probabilità di attraversamento va come 1/H, per cui nel limite di H->+oo la probabilità è nulla. Fisicamente, significa che per una barriera di altezza infinita nemmeno la meccanica quantistica è in grado di far attraversare il potenziale. Questo risultato è molto ragionevole. Ora, se prendiamo la barriera coulmbiana il potenziale è tipo V(r)=1/r essendo r il modulo del vettore posizione relativa del protone 2 rispetto al protone 1 o viceversa, e "sedendosi" nel sistema di riferimento inerziale del baricentro del sistema di due protoni. Dunque, QUESTA BARRIERA è di altezza infinita, per cui non ci sarà mai un attraversamento. ANCHE SE l'espressione matematica è diversa. Infatti, una barriera rettangolare e infinita è del tipo delta di Dirac, cioè una funzione in senso improprio. La scelta è idealizzata perché è più semplice in questo modo risolvere l'equazione differenziale agli autovalori in quanto a coefficienti costanti. Diversamente, per il potenziale V(r)=1/r. Una ulteriore complicazione è che essendo in 3-dim. abbiamo un'equazione radiale che è diversa dalla Schrödinger 1-dim. oltre al termine angolare che possiamo supporre costante ipotizzando uno stato di momento angolare orbitale con l=0. Ma concettualmente è identico: la probabilità è nulla perché la barriera è infinitamente alta.

Diversamente, per problemi unindimensionali a stati legati come ad esempio, l'oscillatore armonico, è possibile trovare stati "ghost" ossia funzioni d'onda di modulo quadro sommabile i.e. appartenenti allo spazio di Hilbert L^2(R) che non si annullano all'infinito i.e. esiste una probabilità non nulla di trovare la particella all'infinito, cioè la particella ha una PROBABILITA' MOLTO PICCOLA - MA COMUNQUE FINITA - DI ATTRAVERSARE UNA BARRIERA DI POTENZIALE DI ALTEZZA INFINITA, perché tale è con l'ovvia generalizzazione un potenziale del tipo oscillatore armonico V(x)=1/2 * k*x^2.

Ora, nel caso del potenziale coulombiano per non complicarci la vita, possiamo considerare un modello unidimensionale con V(x)=a*x, essendo a>0 una costante. Qui le autofunzioni dell'energia sono definite a meno di una traslazione spaziale dalla funzione di Airy. Tutto qui ok: questo problema è ben noto in fisica teorica. E anche qui è facile trovare stati ghost, ossia funzioni d'onda che pur essendo di modulo quadro sommabile, non si annullano all'infinito. Ora se operiamo il cambio di variabile r=1/x troviamo esattamente il potenziale coulombiano repulsivo V(r)=a/r, e il corrispondente stato ghost precedente descrive esattamente uno stato quantistico in cui i due protoni fondono.