Surriscaldamento dei freni a tamburo

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Surriscaldamento dei freni a tamburo

lunedì, Gennaio 17th, 2022

Esercizio

In un laboratorio vengono eseguiti dei test allo scopo di misurare il surriscaldamento dei freni a tamburo di un autoveicolo di massa m che viene prima lanciato su un percorso orizzontale con velocità iniziale v₀. Senza che vengano azionati i freni, l'autoveicolo si ferma dopo aver percorso una distanza d₁. Azionando i freni, lo spazio di arresto è d₂.
Si determini l'incremento di temperatura dei freni, trascurando il calore ceduto all'ambiente e supponendo nota la capacità termica dei tamburi.

Soluzione

Orientiamo un asse x con l'origine nel punto di partenza (velocità iniziale v₀) dell'autoveicolo, e verso concorde a quello del moto. Senza azionare i freni, l'autoveicolo giunge alla quiete grazie all'attrito che può essere schematizzato attraverso una resistenza passiva in regime lineare:

Il secondo principio della dinamica restituisce l'equazione differenziale

che si integra facilmente per separazione di variabili

e quindi l'equazione oraria del moto

cioè teoricamente, abbiamo una "salita esponenziale":

L'ultimo passaggio si giustifica osservando che la distanza d₁ si suppone nota. L'azione dei freni può essere schematizzata in maniera simile, ossia attraverso una resistenza passiva:

Ne segue che azionando i freni, il veicolo è rallentato oltre che dall'azione di questi ultimi anche dall'attrito, per cui l'equazione differenziale del moto è

Di nuovo, integrando:

Abbiamo:

Tenendo conto dell'espressione per b₁

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Cilindro con gas immerso in un bagno termico

domenica, Gennaio 16th, 2022

Esercizio

Un cilindro è immerso in un bagno termico costituito da una massa d'acqua M e da cubetti di ghiaccio (per una massa complessiva m). A sua volta il cilindro è riempito da una mole di gas perfetto chiuso da un pistone in equilibrio grazie alle forze di pressione (costante) esercitata dal gas (fig. 1).

Nel volume occupato dal gas, un volano è in rotazione uniforme (I=momento di inerzia, ω₀=velocità angolare). L'intero sistema è in equilibrio alla temperatura T₀=273.15K. Ad un certo istante viene azionato un freno che rallenta il volano fino alla quiete. Se C è la capacità termica del volano (si trascuri quella del freno), determinare al temperatura finale del sistema e il lavoro compiuto dal gas.

Soluzione

Fino a quando non viene azionato il freno, l'energia cinetica del volano è

Per fondere il ghiaccio è necessaria una quantità di calore

dove λ=80cal/g è il calore latente di fusione del ghiaccio. In seguito all'azione del freno, l'energia cinetica E₀ viene progressivamente dissipata in calore. Abbiamo, dunque

per cui il sistema permane nello stato di equilibrio alla temperatura T₀.

Dal momento che non è disponibile altra energia, il sistema permane nello stato di equilibrio alla temperatura T₀. Il caso più interessante è E₀0 > Q_L. Al termine della fusione del ghiaccio, il volano ha un'energia

che verrà dissipata in una quantità di calore di cui una parte verrà assorbita dal volano:

dove ΔT è l'incremento di temperatura del volano. Per le ipotesi fatte, tale incremento è comune all'intero sistema bagno+gas+volano. Il calore rimananente verrà assorbito dal bagno termico di massa (d'acqua) m+M: