» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Velocità vettoriale media e velocità scalare media

Consideriamo una particella che si muove lungo la seguente traiettoria dello spazio ordinario:

dove t è il tempo, per cui la formula precedente definisce le equazioni orarie del moto che, come è noto, possono essere scritte notazione vettoriale:

essendo

con i,j,k versori degli assi coordinati. Per un assegnato t>0 consideriamo un intervallo di tempo Δt tale che

che definisce l'incremento (o il decremento) del vettore posizione della particella nel predetto intervallo di tempo. Come è noto, la
velocità vettoriale media nell'intervallo Δt è la grandezza:

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[¯|¯] Donna isterica al volante e il teorema di Lagrange

Una donna isterica al volante della propria auto, pigiando sull'acceleratore esclama: «Esiste almeno un istante di tempo in cui la velocità istantanea è uguale alla velocità media!»
Dimostrare o confutare l'asserzione della donna.
Soluzione
L'asserzione è vera, in quanto è una conseguenza del teorema di Lagrange. Assumendo come sistema di riferimento un asse x orientato nella direzione del moto, se x(t) è la funzione che definisce l'equazione oraria dell'auto della donna, si ha che tale funzione è continua in ogni intervallo limitato [t₁,t₂] ed è ivi derivabile. Per il predetto teorema:

Il primo membro di tale equazione è la velocità media, mentre il secondo membro è la velocità istantanea al tempo τ, onde l'asserto della donna.
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