[¯|¯] Traiettoria di un punto materiale. Equazioni finite del moto

Marzo 24th, 2017 | by Marcello Colozzo |

moto,traiettoria, curva regolare, equazioni finite del moto — **Fig. 1. Traiettoria di un punto materiale le cui equazioni finite del moto sono x=b(2+cosωt)cosωt,y=b(2+cosωt)sinωt,z=sinωt, per t variabile in [0,π] e b=1, ω=8s^-1**

Nel post precedente abbiamo stabilito che per un assegnato corpo C, un osservatore Ω è in grado di costruire un insieme non vuoto

ovvero l'insieme delle posizioni di C in funzione del tempo t:
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Per esplicitare tale dipendenza funzionale, è innanzitutto necessario definire lo "spazio ambiente" in cui si muove C. In Meccanica Classica si assume come ambiente del moto lo spazio euclideo 3-dimensionale E₃ che noi identifichiamo semplicemente con lo spazio vettoriale euclideo R³. L'osservatore Ω verrà rappresentato da un riferimento cartesiano ortogonale K(Oxyz) che definisce un sistema di riferimento noto come terna solidale a Ω.
Per fissare le idee consideriamo il caso più semplice in cui C è un punto materiale P. Quindi:

Cioè l'insieme delle posizioni assunte da P è il predetto luogo geometrico che si chiama traiettoria di P che per semplicità di notazione, verrà indicato con %Gamma;. Ne consegue che una rappresentazione parametrica della traiettoria di P è:
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avendo posto X=[t₁,t₂] quale intervallo del moto. Le predette equazioni si chiamano equazioni finite del moto, e possono essere scritte in forma vettoriale:
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dove ijk definisce una terna di versori degli assi cartesiani xyz. Nei casi di interesse fisico le funzioni x(t),y(t),z(t) sono sufficientemente regolari, per cui ci aspettiamo che la traiettoria sia una curva regolare nel senso della geometria differenziale. Ad esempio, se

dove b>0 è una costante con le dimensioni di una lunghezza, a patto che la variabile t sia adimensionalizzata (ad esempio, normalizzandola rispetto a una assegnata scala dei tempi). la traiettoria ha un andamento di quello riportato nella seguente figura
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Consideriamo ora una traiettoria più complicata:

Qui b>0 è ancora una costante con le dimensioni di una lunghezza, mentre ω>0 è un'altra costante con le dimensioni dell'inverso di un tempo. Per b=1 (nelle appropriate unità di misura) e ω=8s^-1. La traiettoria di questo punto materiale è tracciata in fig.1 (top di questa pagina).