» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Il funzionale "delta di Dirac"

venerdì, Ottobre 1st, 2021

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Sia F lo spazio funzionale su R delle funzioni reali infinitamente derivabili e a decrescenza rapida, cioè:

Consideriamo ora il funzionale lineare:

così rappresentato:

Ne consegue

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Interpretazione quantistica della distribuzione degli zeri della funzione zeta di Riemann

mercoledì, Settembre 29th, 2021

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Sia S_q un sistema quanto-meccanico unidimensionale non relativistico e privo di spin. Supponendo che sia soggetto a un campo di forze conservativo di energia potenziale V(x), l'operatore hamiltoniano si scrive:

Supponiamo per V(x):

Ne segue che tale sistema ammette solo stati legati (ovviamente non degeneri, per una nota proprietà dei sistemi unidimensionali). Le autofunzioni dell'energia risolvono la ben nota equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo:

È interessante immaginare un potenziale V(x) tali che gli autovalori dell'energia siano proporzionali alla parte immaginaria degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann:

dove: Ω > 0 è una costante con le dimensioni di una frequenza angolare (pulsazione), mentre

essendo ρ_n l'n-esimo zero della funzione zeta. Per l'ipotesi di Riemann:

Si ricordi che la distribuzione degli zeri è simmetrica rispetto all'asse reale, cioè:
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