Comportamento oscillante della somma di una serie di Dirichlet

Archive for the ‘Analisi Matematica III’ Category

Comportamento oscillante della somma di una serie di Dirichlet

lunedì, Ottobre 4th, 2021

serie di Dirichlet,serie di fourier,funzione zeta di riemann — **Fig. 1**

Da un punto di vista formale esiste un'analogia tra una seriei di Dirichlet e una serie di Fourier. Come è noto, in quest'ultimo caso una qualunque funzione periodica f(t) (sufficientemente regolare), si esprime come sovrapposizione lineare di infinite componenti monocromatiche ciascuna di frequenza ω_n appartenenti a uno spettro che si distribuisce linearmente. Alla stessa maniera, la somma di una serie di Fourier valutata (in modulo) lungo una retta appartenente al dominio di convergenze) si esprime come sovrapposizione lineare di infinite componenti monocromatiche ciascuna di frequenza Ω_n=ln(n) appartenenti a uno spettro che si distribuisce logaritmicamente. Si badi che a differenza della f(t), la funzione data dalla somma della serie di Dirichlet non è periodica ma è comunque oscillante.
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La funzione di Riemann-Siegel-Hardy e il fenomeno di Lehmer

domenica, Ottobre 3rd, 2021

funzione di Riemann-Siegel-Hardy,funzione di Riemann-Siegel-Hardy — **Fig. 1**

La funzione di Riemann-Siegel-Hardy è così definita:

ed è una funzione reale per t reale. Inoltre:

per cui ha un andamento più regolare di |ζ((1/2)+it)| come vedremo a breve. Inoltre, Z(t) ha gli stessi zera della funzione ζ calcolata lungo la linea critica. Ciò può essere visto graficamente nelle figure seguenti.