La trasformata di Laplace
martedì, Novembre 8th, 2022
Sia f:[0,+oo) -> R una funzione continua della variabile reale t.
Definizione
La trasformata di Laplace della funzione f(t), è la seguente funzione della variabile complessa s:
L'integrale a secondo membro è noto come integrale di Laplace.
Da tale definizione segue immediatamente che la trasformata di Laplace esiste se è non vuoto l'insieme di punti del piano complesso:
Chiamiamo A campo di convergenza del predetto integrale. Esprimiamo la variabile complessa s in parte reale e parte immaginaria s=α + j*ω dove j è l'unità immaginaria.
Siamo interessati a grandezze f(t) in cui t è il tempo. Siccome l'argomento st dell'esponenziale immaginario è adimensionale, segue che s ha le dimensioni di una pulsazione (frequenza angolare). Chiamiamo pertanto s frequenza complessa. Ad esempio, se f(t) è una tensione, la sua trasformata di Laplace ha le dimensioni di una tensione per un tempo, mentre se f(t) è una corrente, F(s) ha le dimensioni di una corrente per un tempo, cioè di una carica elettrica.
In termini operatoriali
dove L è l'operatore di Laplace.
Definizione
Una funzione f(t) si dice trasformabile secondo Laplace, se il campo di convergenza dell'integrale di Laplace è non vuoto.
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