Integrazione in un intorno di un punto singolare regolare. Il metodo di Frobenius

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Integrazione in un intorno di un punto singolare regolare. Il metodo di Frobenius

giovedì, Dicembre 16th, 2021

Assegnata l'equazione differenziale

supponiamo che x₀ sia un punto singolare regolare. Si noti che possiamo porre x₀=0 (basta eseguire il cambio di variabile t=x-x₀. Enunciamo senza dimostrare il seguente
Teorema di esistenza
Se x=0 è un punto singolare regolare dell'equazione differenziale assegnata, in un opportuno intorno destro del predetto punto, la predetta equazione ammette una soluzione del tipo

dove λ è una costante.

Questo teorema è il punto di partenza del metodo di Frobenius, che consiste nel determinare λ, "forzando la soluzione" ossia imponendo che la serie di potenze scritta sopra risolva l'equazione assegnata. In tal modo si perviene a un'equazione di ricorrenza per i coefficienti della serie di potenze, e ad un'equazione per λ, nota come equazione indiciale. Precisamente, è un'equazione quadratica per cui ci aspettiamo (in generale radici complesse). Escludendo questo caso, si ha

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Equazione differenziale di Legendre. Polinomi di Legendre

mercoledì, Dicembre 15th, 2021

Soluzione

Il punto x=0 è un punto ordinario per l'equazione differenziale assegnata. Quindi in un intorno di x=0

da cui le derivata prima e seconda:

Inserendo tutto questo nell'equazione assegnata

Il trucco consiste nel far comparire un'unica sommatoria, per cui dobbiamo abbassare il minimo indice. Ciò è immediato nella seconda e terza sommatoria perché c'è il termine k