La trasformata di Laplace

Novembre 8th, 2022 | by Marcello Colozzo |

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Fig. 1.


Sia f:[0,+oo) -> R una funzione continua della variabile reale t.

Definizione
La trasformata di Laplace della funzione f(t), è la seguente funzione della variabile complessa s:



L'integrale a secondo membro è noto come integrale di Laplace.
Da tale definizione segue immediatamente che la trasformata di Laplace esiste se è non vuoto l'insieme di punti del piano complesso:


Chiamiamo A campo di convergenza del predetto integrale. Esprimiamo la variabile complessa s in parte reale e parte immaginaria s=α + j*ω dove j è l'unità immaginaria.

Siamo interessati a grandezze f(t) in cui t è il tempo. Siccome l'argomento st dell'esponenziale immaginario è adimensionale, segue che s ha le dimensioni di una pulsazione (frequenza angolare). Chiamiamo pertanto s frequenza complessa. Ad esempio, se f(t) è una tensione, la sua trasformata di Laplace ha le dimensioni di una tensione per un tempo, mentre se f(t) è una corrente, F(s) ha le dimensioni di una corrente per un tempo, cioè di una carica elettrica.
In termini operatoriali


dove L è l'operatore di Laplace.
Definizione
Una funzione f(t) si dice trasformabile secondo Laplace, se il campo di convergenza dell'integrale di Laplace è non vuoto.

Una funzione notevole è il gradino unitario:


Studiamo la trasformabilità secondo Laplace di tale funzione.

Calcoliamo a parte

Segue

Ne concludiamo che il gradino unitario è trasformabile secondo Laplace, e ha per campo di convergenza il semipiano Re(s)>0. Un esempio di funzione non trasformabile è f(t)=e^t². Infatti:

ma tali integrali sono entrambi divergenti, per cui il campo di convergenza dell'integrale di Laplace è l'insieme vuoto.

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