La funzione logaritmo integrale e il numero di Skewes

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La funzione logaritmo integrale e il numero di Skewes

sabato, Dicembre 3rd, 2022

funzione logaritmo integrale,numero di skewes,ipotesi di riemann — **Fig. 1.**

La funzione logaritmo integrale è definita da

L'estremo inferiore di integrazione x=0 non dà problemi perchè la funzione integranda ha ivi una discontinuità eliminabile:

mentre in x=1 ha una discontinuità di seconda specie:

Nella definzione del logaritmo integrale riconosciamo la parte principale di Cauchy o valore principale di Cauchy dell'integrale improprio

Tale valore converge per cui la li(x) è definita in R\{1} e in x=1 come vediamo dal grafico di fig. 1.
Nella notazione di Eulero si scrive

cioè la restrizione di li(x) all'intervallo [2,+oo). La Li(x) è interessante perché permette di eseguire una stima del numero di primi in [0,x]. Più precisamente, ricordiamo che la distribuzione dei primi è data dalla π(x) che allo stato attuale delle conoscenze, è ignota (nel senso che non si conosce la sua espressione analitica). Tale funzione è di libreria per molti software del tipo Mathematica. Ad esempio per x in [0,9], Mathematica restituisce il grafico

da cui notiamo le discontinuità di prima specie per x=p_n essendo p_n l'n-esimo primo. Espandendo l'intervallo di definizione si ha il grafico

Un'ulteriore espansione quasi costringe la funzione π(x) ad assumere un comportamento continuo nel senso che non sono più visibili «a occhio» le discontinuità:

Una stima molto rozza di π(x) è data da

da come risulta confrontando i grafici di figura:

Gauss trovò come migliore approssimazione della π(x), proprio la funzione logaritmo integrale. La migliore approssimazione non è apprezzabile a breve range, come vediamo dal grafico di fig.

ma lo è per grandi valori di x:

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Algoritmo di ricerca degli zeri della funzione zeta di Riemann

mercoledì, Agosto 3rd, 2022

Abbiamo stabilito il seguente risultato: denominando con z=x+iy l'usuale variabile complessa, la funzione di rappresentazione integrale

ha gli stessi zeri non banali della funzione zeta di Riemann ζ(z). Avevamo poi determinato due funzioni reali F,G tali che

cioè

riferendoci alla loro restrizione alla semistriscia critica:

Dall'olomorfia di Φ*(z) in S_crit segue l'armonicità delle funzioni F,G nonché la loro continuità. Sono dunque verificate le ipotesi del teorema della media di Gauss. Quindi, comunque prendiamo un dominio circolare C_R(x₀,y₀) contenuto in S_crit, si ha:

Non consideriamo il semipiano y <0 per una proprietà di simmetria degli zeri. Ricordiamo a tale proposito la simmetria rispetto alla retta critica Rez=1/2, per cui le equazioni scritte sopra implicano:

È comodo introdurre un parametro δ

Quindi

Senza perdita di generalità riferiamoci al caso 1/2-δ. Eseguendo la parametrizzazione (fig. 1)

conformemente alla convenzione secondo cui il verso di percorrenza positivo del cammino di integrazione è quello di un ipotetico osservatore che percorrendo la curva, lascia alla sua sinistra l'interno del dominio considerato.
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