Zero-detector per funzioni armoniche (ricerca di zeri tramite integrazione)

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Zero-detector per funzioni armoniche (ricerca di zeri tramite integrazione)

lunedì, Agosto 1st, 2022

Teorema della media di Gauss,funzioni armoniche,equazione di Laplace

Immaginiamo virtualmente un omino che vaga nel piano cartesiano xy, alla disperata ricerca degli zeri di una assegnata funzione armonica f(x,y). Non riuscendo a determinare gli zeri per "forza bruta" cioè risolvendo l'equazione f(x,y)=0, l'omino ha con sé uno zero-detector che funziona nella seguente maniera: se l'omino inciampa su uno zero, cioè ci sta proprio sopra, il detector emetterà il classico bip-bip-bip... Se, invece, si trova a una distanza R non ci sarà alcun bip bip, anche per valori arbitrariamente piccoli di R. Allora, l'omino non dovrà fare altro che un giro tondo attorno allo zero, cioè mantenendosi a distanza R, e integrando la funzione lungo il percorso (assumendo che f sia continua). A fine percorso, il detector "erutterà" nuovamente il bip-bip, segno che nel centro della circonferenza, c'è uno zero. Alternativamente, può integrare sul cerchio di raggioi R, ritrovando nuovamente zero.

Scherzosamente, abbiamo illustrato due importanti teoremi sulle funzioni armoniche. Il primo è il Teorema della media di Gauss. (altro…)

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Teorema della media di Gauss (funzioni armoniche)

venerdì, Luglio 29th, 2022

Verificare:

Soluzione

Enunciamo, ma non dimostriamo un importante teorema, ricordando che per funzione armonica si intende una soluzione dell'equazione di Laplace:

Teorema della media di Gauss
Sia f(x,y) una funzione armonica in un campo connesso A. Comunque prendiamo un dominio circolare C_R(x₀,y₀) di centro (x₀,y₀) e raggio R,riesce:

La funzione