Algoritmo di ricerca degli zeri della funzione zeta di Riemann

Agosto 3rd, 2022 | by Marcello Colozzo |

zeri della funzione zeta di riemann
Fig. 1.


Abbiamo stabilito il seguente risultato: denominando con z=x+iy l'usuale variabile complessa, la funzione di rappresentazione integrale

ha gli stessi zeri non banali della funzione zeta di Riemann ζ(z). Avevamo poi determinato due funzioni reali F,G tali che


cioè


riferendoci alla loro restrizione alla semistriscia critica:

Dall'olomorfia di Φ*(z) in Scrit segue l'armonicità delle funzioni F,G nonché la loro continuità. Sono dunque verificate le ipotesi del teorema della media di Gauss. Quindi, comunque prendiamo un dominio circolare CR(x0,y0) contenuto in Scrit, si ha:

Non consideriamo il semipiano y <0 per una proprietà di simmetria degli zeri. Ricordiamo a tale proposito la simmetria rispetto alla retta critica Rez=1/2, per cui le equazioni scritte sopra implicano:


È comodo introdurre un parametro δ


Quindi

Senza perdita di generalità riferiamoci al caso 1/2-δ. Eseguendo la parametrizzazione (fig. 1)

conformemente alla convenzione secondo cui il verso di percorrenza positivo del cammino di integrazione è quello di un ipotetico osservatore che percorrendo la curva, lascia alla sua sinistra l'interno del dominio considerato.

Dalla suddetta parametrizzazione segue ds=Rdθ e in definitiva (per entrambi i casi simmetrici rispetto alla retta critica):


essendo

Cioè

dove le variabili in pedice sono parametriche. Similmente

Osserviamo poi che le funzioni appena definite sono periodiche in π, di periodo 2π. L'esistenza di zeri banali implica che il loro valor medio in [0,2π] è nullo.

Riferiamoci a 1/2-δ e per evitare una proliferazioni di simboli, scriviamo semplicemente:


Per quanto precede, il raggio R del dominio circolare è un parametro libero che può variare da 0 a un Rmax(δ) tale che

Deve essere


Sussiste il seguente teorema:
Teorema


Dim.


Per il teorema della media integrale:


cioè l'asserto.

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