La funzione logaritmo integrale e il numero di Skewes

Dicembre 3rd, 2022 | by Marcello Colozzo |

funzione logaritmo integrale,numero di skewes,ipotesi di riemann — **Fig. 1.**

La funzione logaritmo integrale è definita da

L'estremo inferiore di integrazione x=0 non dà problemi perchè la funzione integranda ha ivi una discontinuità eliminabile:

mentre in x=1 ha una discontinuità di seconda specie:

Nella definzione del logaritmo integrale riconosciamo la parte principale di Cauchy o valore principale di Cauchy dell'integrale improprio

Tale valore converge per cui la li(x) è definita in R\{1} e in x=1 come vediamo dal grafico di fig. 1.
Nella notazione di Eulero si scrive

cioè la restrizione di li(x) all'intervallo [2,+oo). La Li(x) è interessante perché permette di eseguire una stima del numero di primi in [0,x]. Più precisamente, ricordiamo che la distribuzione dei primi è data dalla π(x) che allo stato attuale delle conoscenze, è ignota (nel senso che non si conosce la sua espressione analitica). Tale funzione è di libreria per molti software del tipo Mathematica. Ad esempio per x in [0,9], Mathematica restituisce il grafico

da cui notiamo le discontinuità di prima specie per x=p_n essendo p_n l'n-esimo primo. Espandendo l'intervallo di definizione si ha il grafico

Un'ulteriore espansione quasi costringe la funzione π(x) ad assumere un comportamento continuo nel senso che non sono più visibili «a occhio» le discontinuità:

Una stima molto rozza di π(x) è data da

da come risulta confrontando i grafici di figura:

Gauss trovò come migliore approssimazione della π(x), proprio la funzione logaritmo integrale. La migliore approssimazione non è apprezzabile a breve range, come vediamo dal grafico di fig.

ma lo è per grandi valori di x:

A sua volta, Riemann fornì una stima migliore con la seguente funzione:

dove µ(n) è la funzione di Möbius. Ci si può svincolare dalla funzione di Möbius e dalla logaritmo-integrale, utilizzando un'espressione equivalente nota come serie di Gram:

dove ζ è la funzione zeta di Riemann. In fig.

plottiamo p(x) confrontata con la somma parziale di ordine 100 della serie di Gram. In fig.

Da questi andamenti segue che mentre con u(x)=x/ln x il numero di primi è sottosmitato, con Li(x) tale numero è sovrastimato. Diversamente, la migliore approssimazione è R(x) in quanto alterna sovrastime a sottostime, attraversando i singoli salti di discontinuità di π(x) nei rispettivi punti medi. Più specificatamente, sembra che sia