Punti di discontinuità di una funzione di due variabili

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Punti di discontinuità di una funzione di due variabili

sabato, Gennaio 9th, 2021

Esercizio

Classificare i punti di discontinuità della funzione

Soluzione
La funzione è definita su tutto R² escludendo l'origine (0,0). Qui è

per rimuovere la forma indeterminata 0/0, passiamo alle coordinate polari nel piano coordinato xy:

Ne concludiamo che (0,0) è un punto di discontinuità di seconda specie per la funzione assegnata. Il grafico è tracciato in fig. 1.

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Superficie con "struttura a nastro" (i.e. "non orientabile)

sabato, Gennaio 9th, 2021

superficie non orientabile,struttura a nastro,nastro di möbius — **Fig. 1**

Esercizio

Classificare i punti di discontinuità della funzione

Soluzione
La funzione è definita su tutto R² escludendo l'origine (0,0). Qui è

per rimuovere la forma indeterminata 0/0, passiamo alle coordinate polari nel piano coordinato xy:

Tale trasformazione di coordinate, determina la funzione composta

Cioè in coordinate polari la funzione assegnata dipende solo dall'anomalia φ, e non dal raggio vettore r. Da un punto di vista fisico, tale funzione rappresenta un campo scalare omogeneo ma anisotropo.
Il precedente limite si scrive:

che implica la non esistenza del limite medesimo, giacché nel caso contrario dipenderebbe dalla direzione secondo cui ci avviciniamo al punto di accumulazione (0,0). Ne concludiamo che tale punto è di discontinuità di seconda specie per la funzione assegnata.
Il tracciamento del grafico (via software) è reso problematico dal fatto che la funzione è costante lunto le rette per l'origine (infatti in coordinate polari la funzione non dipende da r), mentre cambia bruscamente lungo le linee coordinate del piano cartesiano xy. Infatti:

Il grafico è tracciato in fig.:

Per evidenziare la discontinuità nell'origine e la conseguente struttura a nastro, è preferibile tracciare il grafico utilizzando la seguente rappresentazione parametrica:

ottenendo la superficie di fig. 1.

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