Computational analysis of the Schwarz's Theorem

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Computational analysis of the Schwarz's Theorem

lunedì, Gennaio 11th, 2021

In this handbook we face the famous Schwarz's theorem from the graphical-computational point of view. Precisely, after having studied the behavior of the mixed derivatives of the second order of an assigned function, demonstrating their non-continuity, we proceed graphically (with Mathematica) in order to dramatically highlight the singularity of the single derivatives.

Argomenti:

Schwarz’s theorem

Numerical example

Analysis with Mathematica

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In più variabili la derivabilità non implica la continuità

domenica, Gennaio 10th, 2021

derivabilità,continuità,funzioni di più variabili — **Fig. 1**

Nel caso di funzioni di una variabile, la derivabilità in un punto è condizione sufficiente per la continuità nello stesso punto. Di contro, per una funzione di più variabili, l'esistenza delle derivate parziali del primo ordine in un assegnato punto non implica la continuità. Ad esempio, abbiamo visto che la funzione

non è continua in (0,0). Mostriamo che f è ivi derivabile. Le regole di derivazione restituiscono:

Per calcolare le derivate in (0,0) dobbiamo applicare la definizione di derivata (limite del rapporto incrementale). Ad esempio:

per cui

In the case of functions of one variable, the differentiability in a point is a sufficient condition for continuity in the same point. On the other hand, for a function of several variables, the existence of first order partial derivatives in a given point does not imply continuity. For example, we have seen that function

it is not continuous in (0,0). We show that f is differentiable there. The derivation rules return:

To calculate the derivatives in (0,0) we need to apply the definition of derivative (limit of the incremental ratio). For example:

But

for which

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