Forma trigonometrica degli integrali ellittici

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Forma trigonometrica degli integrali ellittici

mercoledì, Aprile 21st, 2021

integrali ellittici,forma trigonometrica — **fig. 1**

In questo numero eseguiamo un cambio di variabile che trasforma gli integrali ellittici di prima, seconda e terza specie. Iniziamo con gli integrali di prima specie:

rammentando che P(x) è un polinomio di terzo grado. Ed è chiaro che possiamo scriverlo nella forma:

assumendo i coefficienti reali. Supponiamo poi che le radici siano reali: α,ß,γ. Si noti che per i nostri scopi, tali radici devono essere distinte. Diversamente:

per cui

che non è un integrale ellittico. Assumiamo poi la seguente convenzione:

e in entrambi i casi, ß è la radice media. Più formalmente:

Senza perdita di generalità, consideriamo il caso (+):

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Integrali ellittici di prima, seconda e terza specie

lunedì, Aprile 19th, 2021

Integrali ellittici di prima specie,integrali ellittici di seconda specie,integrali ellittici di terza specie — **Fig. 1**

Seguendo le orme di Smirnov, si dimostra che un qualunque integrale ellittico

è comunque riducibile a integrali del tipo

dove φ(x) è un polinomio e k un intero relativo.

Definiamo rispettivamente integrale ellittico di prima specie, seconda e terza specie gli integrali scritti in fig. 1, quindi dimostriamo
Proposizione
Un qualunque integrale ellittico si esprime come combinazione lineare degli integrali ellittici di prima, seconda e terza specie.

Dim.

Senza perdita di generalità, assumiamo che P(x) sia un polinomio di terzo grado:

Quindi poniamo

Per un intero naturale m non nullo assegnato ad arbitrio, deriviamo

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