Punti ordinari e punti singolari di un'equazione differenziale

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Punti ordinari e punti singolari di un'equazione differenziale

giovedì, Dicembre 9th, 2021

equazione differenziale lineare omogenea del second'ordine, punti singolari, punti singolari non regolari

Dopo questa lunga premessa, riprendiamo l'equazione differenziale del secondo ordine:

dove p(x) e q(x) sono funzioni assegnate e definite in X sottoinsieme di R.

Definizione 1

Se p(x) e q(x) sono analitiche in X, ogni punto di tale insieme si dice punto ordinario dell' equazione differenziale scritta sopra. Denotando con D(X) il derivato di X, se in

una delle predette funzioni non è analitica, diremo che x₀ è un punto singolare dell'equazione.

I punti singolari si classificano secondo la seguente definizione:

Definizione 2
Un punto singolare x₀ regolare se le funzioni

sono analitiche. Nel caso contrario, x₀ è un punto singolare non regolare.

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Analicità dei coefficienti di un'equazione differenziale lineare omogenea

mercoledì, Dicembre 8th, 2021

equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, coefficienti, funzioni analitiche — **Fig. 1**

Consideriamo un'equazione differenziale lineare omogenea di ordine n:

Nei numeri precedenti avevamo richiesto la sola continuità dei coefficienti a₁(x),...,a_n(x). Tuttavia per l'applicazione di metodi di integrazione per serie, è richiesta una condizione più forte per la regolarità dei coefficienti. Innanzitutto, si fissa l'attenzione sulle equazioni del secondo ordine, per poi generalizzare a un qualunque ordine n. Scriveremo, dunque, l'equazione nel modo che segue

Per quanto precede, è fondamentale la regolarità delle funzioni p(x),q(x). A titolo di esempio, prendiamo l'equazione differenziale di Schrödinger non dipendente dal tempo:

essendo E un parametro (autovalore dell'energia), V(x) la funzione energia potenziale, m la massa di una particella che compie un moto unidimensionale (asse x), "h tagliato" (o "h bar") la costante ridotta di Planck. Abbiamo, dunque, un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine e a coefficienti variabili. Supponiamo ora che la funzione energia potenziale sia

dove V₀ > 0 e x l'ascissa adimensionalizzata della particella. Studiamo questa funzione (ci aspettano molti calcoli tediosi, ma ne vale la pena perché ci aiuteranno a comprendere il concetto di analiticità). Intanto vediamo che è definita in R\{0} è che ivi V(x) >= 0, per cui il grafico giace nel semipiano y >= 0. Vediamo come si comporta in un intorno destro di x=0: