» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Lunghezza di un arco di spirale logaritmica

lunedì, Dicembre 12th, 2016

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Esercizio

Determinare la lunghezza dell'arco di di spirale logaritmica

di cui una rappresentazione parametrica è

Gli estremi dell'arco sono P(r=0,φ=0) e O(r=0,φ=-oo). Scrivere, infine, la rappresentazione naturale dell'arco assegnato.

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Soluzione
Vediamo subito che il punto O(r=0,φ=-oo) è il polo del riferimento polare (r,φ) il cui asse polare è l'asse x. Come è noto, tale punto è asintotico per γ.
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[¯|¯] Spirale di Archimede generalizzata

domenica, Dicembre 11th, 2016

La spirale di Archimede generalizzata ha equazione polare:

dove a>0 e n>1. Sostiuendo r data dall'equazione precedente nelle relazioni che ci fanno passare dalle coordinate cartesiane nel piano alle coordinate polari, si ottiene la rappresentazione parametrica:

Determinando la funzione inversa della r(φ)

per cui

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