Archive for the ‘Analisi Matematica II’ Category

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[¯|¯] La lemniscata di Bernoulli

martedì, Dicembre 13th, 2016

lemniscata di Bernoulli,coordinate polari,coordinate cartesiane

Fig. 1

La lemniscata di Bernoulli ha equazione polare:

lemniscata di Bernoulli,coordinate polari,coordinate cartesiane

Ne segue che se denotiamo con γ il luogo geometrico del piano la cui equazione in coordinate polari è data dalla equazione precedente, si ha:

lemniscata di Bernoulli,coordinate polari,coordinate cartesiane

ove

lemniscata di Bernoulli,coordinate polari,coordinate cartesiane

essendo

lemniscata di Bernoulli,coordinate polari,coordinate cartesiane

Cioè la lemniscata è composta da due rami simmetrici rispetto all'asse polare.
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[¯|¯] Integrale curvilineo esteso ad un arco di spirale logaritmica

lunedì, Dicembre 12th, 2016

integrale curvilineo,spirale logaritmica,lunghezza,ascissa curvilinea

Fig. 1

Esercizio
Calcolare:

integrale curvilineo,spirale logaritmica,lunghezza,ascissa curvilinea

dove γ(P,O) è l'arco dell'esercizio precedente

Soluzione
Il cammino di integrazione è illustrato in fig. 1. Dal momento che già conosciamo la rappresentazione naturale della curva (cfr. esercizio precedente)

integrale curvilineo,spirale logaritmica,lunghezza,ascissa curvilinea
s

conviene integrare rispetto a s. A tale scopo determiniamo a parte:

integrale curvilineo,spirale logaritmica,lunghezza,ascissa curvilinea

Segue

integrale curvilineo,spirale logaritmica,lunghezza,ascissa curvilinea

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