» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Integrazione per serie di un'equazione differenziale

Studiamo il metodo di integrazione per serie di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, in un intorno di un punto ordinario/a> x₀. A tale scopo, enunciamo senza dimostrare il teorema:
Teorema
L'integrale generale dell'equazione differenziale

in un intorno di un punto regolare x₀, si esprime come

dove i coefficienti a₀,a₁ della serie di potenze al primo membro, sono costanti arbitrarie, mentre il sistema di integrali {y₁(x),y₂(x)} è linearmente indipendente.

Esercizio

Risolvere l'esercizio rappresentato in fig. 1.

Soluzione

Il punto x=0 è manifestamente un punto ordinario, per cui scriviamo l'espansione in serie di potenze dell'integrale generale:

Ora non dobbiamo fare altro che derivare termine a termine per due volte, dopodiché immettere i rispettivi sviluppi in serie nell'equazione assegnata. Abbiamo:

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Classificazione dei punti singolari di un'equazione differenziale

Esercizio

Classificare gli eventuali punti singolari dell'equazione differenziale rappresentata in fig. 1.

Soluzione
Scriviamo l'equazione nella forma:

Ne segue che x₀=0,x1=1 sono punti singolari. Per classificarli, determiniamo

entrambe analitiche. Quindi x₀=0 è punto singolare regolare. Passiamo al secondo punto; qui dobbiamo testare solo p(x)

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