Equazione differenziale di Legendre. Polinomi di Legendre

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Equazione differenziale di Legendre. Polinomi di Legendre

mercoledì, Dicembre 15th, 2021

Soluzione

Il punto x=0 è un punto ordinario per l'equazione differenziale assegnata. Quindi in un intorno di x=0

da cui le derivata prima e seconda:

Inserendo tutto questo nell'equazione assegnata

Il trucco consiste nel far comparire un'unica sommatoria, per cui dobbiamo abbassare il minimo indice. Ciò è immediato nella seconda e terza sommatoria perché c'è il termine k

Nella prima invece, eseguiamo il cambio di indice k'=k-2 per cui

dove nell'ultimo passaggio abbiamo ridefinito k' in k, in quanto trattasi di un indice muto. Segue

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Risoluzione di un problema di Cauchy con uno sviluppo in serie di Taylor

lunedì, Dicembre 13th, 2021

equazioni differenziali, integrazione per serie, problema di cauchy — **Fig. 1.**

Esercizio
Risolvere il problema di Cauchy riportato in fig. 1. Per l'integrazione dell'equazione differenziale si utilizzi lo sviluppo in serie di Taylor di punto iniziale x₀=-1 troncato al quarto ordine. Si confronti il risultato con quello trovato utilizzando un software del tipo Mathematica, trovando il raggio del predetto intorno.

Soluzione

Si tratta di sviluppare la soluzione del problema assegnato in serie di Taylor di punto iniziale x₀=-1:

Se siamo interessati alla soluzione in un intorno di x₀=-1, arrestiamo lo sviluppo a un ordine assegnato. Il testo dell'esericizio dice di arrestare al quarto ordine: