» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

in un intorno di un punto regolare x₀, si esprime come

dove i coefficienti a₀,a₁ della serie di potenze al primo membro, sono costanti arbitrarie, mentre il sistema di integrali {y₁(x),y₂(x)} è linearmente indipendente.

Esercizio

Risolvere l'esercizio rappresentato in fig. 1.

Soluzione

Il punto x=0 è manifestamente un punto ordinario, per cui scriviamo l'espansione in serie di potenze dell'integrale generale:

Ora non dobbiamo fare altro che derivare termine a termine per due volte, dopodiché immettere i rispettivi sviluppi in serie nell'equazione assegnata. Abbiamo:

Per quanto detto:

Lo scopo del nostro procedimento è trovare una relazione di ricorrenza per i coefficienti della serie. Per fare ciò dobbiamo cercare di far comparire una sola sommatoria, cioè che parte dallo stesso valore iniziale (n=0, vedi ultima sommatoria a primo membro). Quindi nella prima, operiamo la sostituzione di indice:

dove nell'ultimo passaggio abbiamo rinominato l'indice muto n' in n. Ci rimane la sommatoria di mezzo (nella seconda delle equazione scritte più sopra). Qui non conviene la sostituzione n->n'+1, altrimenti ci ritroviamo con un fastidioso x^(n'+1). Osservando che compare n nel termine generico, possiamo tranquillamente scrivere:

due integrali particolari linearmente indipendenti. In fig. 1 riportiamo il grafico della soluzione ottenuta per serie (con a₀=-1,a₁=-1) confrontata con il grafico della soluzione esatta ottenuta con Mathematica. Notiamo incidentalmente, che essendo la soluzione esatta non elementarmente esprimibile, Mathematica la ricava utillizzando alcune funzioni speciali (non elementarmente esprimibili).