Archive for the ‘Analisi Matematica I’ Category

« Previous Entries
Next Entries »

Serie di Taylor

venerdì, Novembre 12th, 2021

serie di taylor,resto di lagrange,resto di cauchy
Fig. 1. Sviluppo in serie di Mac Laurin della funzione sin(x) in [-10,10]. I singoli grafici si riferiscono allo sviluppo troncato ad un ordine assegnato.

Consideriamo un intervallo X (contenuto in R) e una funzione f di classe (n+1) su X (cioè derivabile in X n+1 volte con derivate continue). Preso ad arbitrio x0 in X, ricordiamo la formula di Taylor:

dove il resto Rn(x) si presenta in due espressioni diverse. Precisamente, il resto di Lagrange:


e il resto di Cauchy:

Se f è di classe Coo(X) (cioè dotate di derivate di ordine comunque elevato, e continue in X) la formula di Taylor può essere scritta per n arbitrariamente grande, per cui è univocamente definita la serie di funzioni:

Definizione
La serie


si dice serie di Taylor relativa alla funzione f(x) e ad al punto iniziale x0 (serie di Mac Laurin se x0=0).


Ciò posto, ci chiediamo:

  1. la predetta serie converge?
  2. In caso affermativo, la somma è f(x)?

A tali domande risponde il seguente teorema:

Teorema


Dim.

La somma parziale di ordine n+1 è


per cui

(altro…)



Posted in Analisi Matematica I | No Comments »

Serie derivabile termine a termine, pur non essendo uniformemente convergente la serie delle derivate

mercoledì, Novembre 10th, 2021

derivazione termine a termine, convergenza uniforme,serie delle derivate
Fig. 1

Poniamo


e quindi la somma parziale di ordine N:

Cioè la serie converge e ha per somma la funzione

Dopo qualche calcolo determiniamo le derivate dei singoli termini

Cioè, la serie delle derivate è quella dell'esercizio precedente che sappiamo essere non uniformemente convergente. Tuttavia

che è la somma della predetta serie. Ne concludiamo che la serie assegnata è derivabile termine a termine.
(altro…)



Posted in Analisi Matematica I | No Comments »

« Previous Entries
Next Entries »