» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Serie a termini di segno costante. La funzione zeta di Riemann

giovedì, Ottobre 7th, 2021

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Definizione
Una serie

si dice a termini di segno costante se

Senza perdita di generalità, consideriamo il caso delle serie i cui termini sono non negativi.
Teorema
Una serie a termini non negativi non è mai indeterminata.

Dim.

Abbiamo

Consideriamo la successione delle somme parziali:

che è ovviamente una funzione

Dal momento che {S_N} è monotonamente crescente, per una nota proprietà:

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Proprietà associativa

mercoledì, Ottobre 6th, 2021

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Come è noto, l'insieme R dei numeri reali assume la struttura algebrica di campo, attraverso un numero finito di assiomi relativi alle leggi di composizione «addizione» (+) e «moltiplicazione» (·). Riferiamoci in particolare alla proprietà associativa dell'addizione:

Ci proponiamo di verificare se tale proprietà si conserva nel caso di un numero infinito di addendi. A tale scopo, consideriamo la serie

per cui siamo tentati a riscrivere tale somma di infiniti termini, in una forma del tipo:

Per rendere operativa l'associazione degli infiniti termini di una serie, diamo la seguente definizione:
Definizione
La serie

è dedotta dalla serie assegnata associandone i termini, se esiste una successione di indici:

tale che

In modo più compatto:

Ad esempio:

Ciò premesso, dimostriamo:
Teorema
Hp.

Th.Per ogni serie dedotta da quella di partenza associandone i termini, si ha

Dim.

Denotando con T_N la somma parziale di ordine N relativa alla serie dedotta per associazione di termini, si ha:

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