Proprietà associativa

Ottobre 6th, 2021 | by Marcello Colozzo |

Come è noto, l'insieme R dei numeri reali assume la struttura algebrica di campo, attraverso un numero finito di assiomi relativi alle leggi di composizione «addizione» (+) e «moltiplicazione» (·). Riferiamoci in particolare alla proprietà associativa dell'addizione:

Ci proponiamo di verificare se tale proprietà si conserva nel caso di un numero infinito di addendi. A tale scopo, consideriamo la serie

per cui siamo tentati a riscrivere tale somma di infiniti termini, in una forma del tipo:

Per rendere operativa l'associazione degli infiniti termini di una serie, diamo la seguente definizione:
Definizione
La serie

è dedotta dalla serie assegnata associandone i termini, se esiste una successione di indici:

tale che

In modo più compatto:

Ad esempio:

Ciò premesso, dimostriamo:
Teorema
Hp.

Th.Per ogni serie dedotta da quella di partenza associandone i termini, si ha

Dim.

Denotando con T_N la somma parziale di ordine N relativa alla serie dedotta per associazione di termini, si ha:

Ne segue che {T_N} è una successione estratta dalla {S_N}. Per una nota proprietà

esprime la proprietà associativa dell'addizione nel caso di un numero infinito di addendi, a patto che la serie assegnata sia convergente o divergente. Infatti, tale proprietà non vale per le serie indeterminate. Ad esempio: