» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Serie numerica ad un parametro (esercizio svolto)

venerdì, Ottobre 8th, 2021

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Esercizio tratto dal Gizzetti. La soluzione è nostra.

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Dimostrare che se λ non è un intero negativo, la serie scritta in fig. 1 è convergente e calcolarne la somma.

Soluzione

Per calcolare agevolmente la somma parziale, osserviamo che il termine generico è una funzione razionale di n, per cui è preferibile ridurre in frazioni semplici:

da cui il sistema

Pertanto la serie può riscriversi

E quindi la somma parziale di ordine N

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Prime proprietà della funzione zeta di Riemann nel campo reale

giovedì, Ottobre 7th, 2021

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Dimostriamo alcune proprietà della funzione zeta di Riemann elencate in fig. 1.
La prima è ovvia:

Per dimostrare la terza, componiamo il sistema

Espandiamo le singole serie, e nella prima utilizziamo la proprietà associativa:

Sottraendo membro a membro:

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