» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Tensori misti (applicazioni (r+s)-lineari)

venerdì, Marzo 6th, 2020

A questo punto la definizione di tensore misto è immediata. Precisamente, comunque prendiamo uno spazio vettoriale E_n su un campo K, possiamo definire un'applicazione (r+s)-lineare:

essendo (al solito) E_n* lo spazio duale di E_n. Quindi

Definizione
La forma (r+s)-lineare (cfr. eq. scritta sopra), si dice tensore misto di rango r+s, di ordine di covarianza r e di ordine di controvarianza s (relativo allo spazio vettoriale E_n).

Se {e_i} è una base di E_n e {θ^j} è la base duale ad essa associata, possiamo esprimere i singoli argomenti della predetta applicazione (r+s)-lineare, in termini di vettori di base:

La (r+s)-linearità implica:

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[¯|¯] Tensori controvarianti di rango r (parte seconda)

venerdì, Marzo 6th, 2020

Nel numero precedente abbiamo definito le "componenti" di un tensore controvariante di rango r. È chiaro che tale locuzione ha senso solo se è stata assegnato innanzitutto uno spazio vettoriale di appartenenza, e poi una sua base. A tale scopo definiamo innanzitutto l'insieme delle applicazioni r-lineari introdotte nel numero precedente:

dove il doppio asterisco denota lo spazio biduale di E_n. Siccome esiste un isomorfismo naturale tra un qualunque spazio vettoriale e il suo biduale, possiamo identificare E_n^** con E_n, per cui scriviamo semplicemente:

avendo però l'accortezza di denotare una base di E_n con un simbolo del tipo

per ricordare che stiamo in realtà lavorando sullo spazio biduale. Più precisamente, se {e_i} è una base assegnata di E_n, si ha che la base duale ad essa associata è

mentre la base biduale associata alla base {e_i} ovvero la base duale associata a {θ^j}, è

che è ovviamente una base E_n, tuttavia in generale distinta dalla base di partenza {e_i}.
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