[Calcolo tensoriale] Contrazione

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[Calcolo tensoriale] Contrazione

martedì, Marzo 10th, 2020

Spesso i tensori vengono definiti attraverso il Criterio di tensorialità, vale a dire mediante una legge di trasformazione quando si passa da una base all'altra. Tale definizione non ha però un carattere intrinseco, per cui è preferibile definirli come applicazioni multilineari. Tuttavia, in molte operazioni è più facile riferirsi esclusivamente alle componenti in una base assegnata. Iniziamo a definire

Definizione
Dicesi operazione di contrazione la saturazione di un indice covariante e di un indice controvariante.

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[¯|¯] Cambiamento di base. Criterio di tensorialità

domenica, Marzo 8th, 2020

Per quanto visto in precedenza, comunque prendiamo uno spazio vettoriale finito-dimensionale (su un campo K), è univocamente definito lo spazio vettoriale

i cui elementi sono i tensori misti di rango r+s. Ci proponiamo di stabilire la legge di trasformazione di tali enti in seguito a un cambiamento di base nel predetto spazio. A tale scopo, osserviamo innanzitutto che un cambiamento di base nello spazio vettoriale, per così dire, di partenza ossia E_{n}, induce un cambiamento di base nel duale e nel biduale e quindi, in E_n^(r,s). Infatti, assegnare una base in E_n equivale ad assegnare una base nel duale e nel biduale (ove quest'ultimo si identifica con E<_n a meno di un isomorfismo naturale). In simboli:

Ora non dobbiamo fare altro che scrivere le leggi di trasformazione dei vari vettori di base quando si passa da {e_i} a una nuova base {e_i'}. Denotando con α_i^j e ß_jⁱ gli elementi di matrice della matrice di passaggio P (dalla vecchia alla nuova base) e della sua inversa (gli indici in alto sono indici di riga), si ha: