» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Tensori misti (applicazioni (r+s)-lineari)

Marzo 6th, 2020 | by Marcello Colozzo |

A questo punto la definizione di tensore misto è immediata. Precisamente, comunque prendiamo uno spazio vettoriale E_n su un campo K, possiamo definire un'applicazione (r+s)-lineare:

essendo (al solito) E_n* lo spazio duale di E_n. Quindi

Definizione
La forma (r+s)-lineare (cfr. eq. scritta sopra), si dice tensore misto di rango r+s, di ordine di covarianza r e di ordine di controvarianza s (relativo allo spazio vettoriale E_n).

Se {e_i} è una base di E_n e {θ^j} è la base duale ad essa associata, possiamo esprimere i singoli argomenti della predetta applicazione (r+s)-lineare, in termini di vettori di base:

La (r+s)-linearità implica:

Se ora definiamo

ovvero le componenti del tensore misto T in una base di un "qualche" spazio vettoriale. Per individuare tale spazio, definiamo innanzitutto l'insieme delle predette applicazioni (r+s)-lineari:

essendo

Introducendo le solite leggi di composizione e relativi assiomi, tale insieme assume la struttura di spazio vettoriale su K. Definendo la base biduale:

sussiste (come nel caso dei tensori covarianti e controvarianti) il seguente teorema di cui omettiamo la dimostrazione:

Teorema
Il sistema

è una base di E_n^(r+s)

Da tale teorema segue

Tags: applicazioni multilineari, tensori misti

Articoli correlati