» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Esercizio svolto sullo spazio duale. Ricerca della base duale

sabato, Maggio 22nd, 2021

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Come esempio numerico della lezione precedente consideriamo lo spazio vettoriale R². La base canonica è

per cui

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Spazio duale di uno spazio vettoriale. Base duale

venerdì, Maggio 21st, 2021

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Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Dal momento che quest'ultimo può essere considerato come spazio vettoriale su K medesimo, fissiamo l'attenzione su Hom(V,K) i cui elementi sono gli omomorfismi da V a K:

che si chiamano funzionali lineari Come è noto, introducendo le leggi di composizione (addizione di vettori, moltiplicazione di uno scalare per un vettore):

e relativi assiomi, Hom(V,K) assume la struttura di spazio vettoriale su K.
Definizione
Lo spazio vettoriale Hom(V,K) si dice spazio duale e si indica con V^*

Come sappiamo

Cioè V e V^* sono isodimensionali, e per un noto teorema segue che sono isomorfi. Inoltre, se {e_i} è una base di V:

Introduciamo n funzionali lineari così definiti:

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