» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Gruppo U(n) delle matrici unitarie. Sottogruppo SU(2) di U(2)

Comunque prendiamo una matrice unitaria di ordine n, si ha:

Denotiamo con U(n) l'insieme delle matrici unitarie di ordine n. Mostriamo che il prodotto righe per colonne è una legge di composizione interna per il predetto insieme. Infatti:

Ne segue che l'introduzione dell'operazione righe per colonne, con le proprietà appena viste, conferisce all'insieme U(n)la struttura di gruppo non abeliano, in quanto il prodotto righe per colonne non è commutativo. Per applicazioni in Meccanica quantistica è utile considerare il gruppo U(2). La più generale matrice unitaria di ordine 2 si può scrivere:

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Componenti di un vettore in una base ortonormale. Matrici unitarie

Sia {e_i} una base ortonormale di uno spazio unitario n-dimensionale V. Quindi

Quindi in una base ortonormale lo sviluppo di un qualunque vettore come combinazione lineare dei vettori di base, assume la forma:

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