Spazio duale di uno spazio vettoriale. Base duale

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Spazio duale di uno spazio vettoriale. Base duale

venerdì, Maggio 21st, 2021

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Dal momento che quest'ultimo può essere considerato come spazio vettoriale su K medesimo, fissiamo l'attenzione su Hom(V,K) i cui elementi sono gli omomorfismi da V a K:

che si chiamano funzionali lineari Come è noto, introducendo le leggi di composizione (addizione di vettori, moltiplicazione di uno scalare per un vettore):

e relativi assiomi, Hom(V,K) assume la struttura di spazio vettoriale su K.
Definizione
Lo spazio vettoriale Hom(V,K) si dice spazio duale e si indica con V^*

Come sappiamo

Cioè V e V^* sono isodimensionali, e per un noto teorema segue che sono isomorfi. Inoltre, se {e_i} è una base di V:

Introduciamo n funzionali lineari così definiti:

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Gruppo U(n) delle matrici unitarie. Sottogruppo SU(2) di U(2)

mercoledì, Maggio 19th, 2021

Comunque prendiamo una matrice unitaria di ordine n, si ha:

Denotiamo con U(n) l'insieme delle matrici unitarie di ordine n. Mostriamo che il prodotto righe per colonne è una legge di composizione interna per il predetto insieme. Infatti:

Tale legge di composizione verifica le seguenti proprietà:

Ne segue che l'introduzione dell'operazione righe per colonne, con le proprietà appena viste, conferisce all'insieme U(n)la struttura di gruppo non abeliano, in quanto il prodotto righe per colonne non è commutativo. Per applicazioni in Meccanica quantistica è utile considerare il gruppo U(2). La più generale matrice unitaria di ordine 2 si può scrivere: