» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Spazio duale di uno spazio vettoriale. Base duale

venerdì, Maggio 21st, 2021

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Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Dal momento che quest'ultimo può essere considerato come spazio vettoriale su K medesimo, fissiamo l'attenzione su Hom(V,K) i cui elementi sono gli omomorfismi da V a K:

che si chiamano funzionali lineari Come è noto, introducendo le leggi di composizione (addizione di vettori, moltiplicazione di uno scalare per un vettore):

e relativi assiomi, Hom(V,K) assume la struttura di spazio vettoriale su K.
Definizione
Lo spazio vettoriale Hom(V,K) si dice spazio duale e si indica con V^*

Come sappiamo

Cioè V e V^* sono isodimensionali, e per un noto teorema segue che sono isomorfi. Inoltre, se {e_i} è una base di V:

Introduciamo n funzionali lineari così definiti:

(altro…)

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Parametrizzazione di SU(2). Le matrici di Pauli

giovedì, Maggio 20th, 2021

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Nel numero precedente abbiamo visto che la più generale matrice unitaria di ordine 2 è

Per ω=0 la matrice è unimodulare i.e. appartiene al sottogruppo SU(2):

La relazione appena scritta è una parametrizzazione di SU(2). Una parametrizzazione notevole è nei parametri (
n,θ) essendo θ reale, mentre n è un versore dello spazio ordinario. Risulta:

dove σ è il vettore delle matrici di Pauli (fig. 1). Alcune proprietà notevoli:

essendo

Per passare dalla rappresentazione (α,ß) alla rappresentazione (n,θ), scriviamo

Calcolando

si perviene a

Le formule appena trovate ci permettono di passare da una rappresentazione all'altra.

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