Spazi vettoriali unitari. Prodotto interno (o prodotto hermitiano)

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Spazi vettoriali unitari. Prodotto interno (o prodotto hermitiano)

giovedì, Maggio 13th, 2021

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Definizione
Uno spazio unitario è uno spazio vettoriale sul campo complesso in cui è definito un prodotto interno (denominato anche prodotto scalare o prodotto hermitiano), cioè un'applicazione

che verifica i seguenti assiomi:

Da tali assiomi segue che la predetta applicazione è bilineare. In analogia con la nozione di "lunghezza" di un vettore di uno spazio vettoriale euclideo, definiamo la norma:

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Sottospazio vettoriale dei tensori completamente simmetrici

mercoledì, Marzo 18th, 2020

tensori completamente simmetrici,sottospazio vettoriale,matrici simmetriche — **Fig. 1**

Assegnato uno spazio vettoriale E_n e preso ad arbitrio un intero naturale r, consideriamo lo spazio prodotto tensoriale

e quindi, il suo sottoinsieme

i cui elementi sono i tensori r-covarianti completamente simmetrici. Mostriamo che si tratta di un sottospazio vettoriale di E_n^*(r). Infatti:

La chiusura di S_n^*(r) rispetto alle leggi di composizione di addizione di moltiplicazione per uno scalare, implica che tale insieme è un sottospazio vettoriale di E_n^*(r). Ovviamente siamo interessati alla dimensione di tale spazio. Intanto osserviamo che