Spazi vettoriali unitari. Prodotto interno (o prodotto hermitiano)

Maggio 13th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Definizione
Uno spazio unitario è uno spazio vettoriale sul campo complesso in cui è definito un prodotto interno (denominato anche prodotto scalare o prodotto hermitiano), cioè un'applicazione


che verifica i seguenti assiomi:

Da tali assiomi segue che la predetta applicazione è bilineare. In analogia con la nozione di "lunghezza" di un vettore di uno spazio vettoriale euclideo, definiamo la norma:


Anche la nozione di ortogonalità si estende facilmente dall'euclideo a un qualunque spazio unitario:

Da ciò segue che tra tutti gli spazi vettoriali, gli spazi unitari sono quelli più "simili" agli spazi euclidei. Vediamo alcuni esempi immediati. Rammentiamo che Cn è uno spazio vettoriale sul campo complesso (non appena introduciamo le operazioni di addizione di vettori e di moltiplicazione di uno scalare per un vettore, con relativi assiomi), i cui elementi sono le n-ple ordinate di numeri complessi. Quindi:


Definiamo

Ne segue

In tal modo Cn assume la struttura di spazio unitario. Vediamo quest'esempio: sia Pn lo spazio vettoriale sul campo complesso, i cui elementi sono i polinomi nell'indeterminata reale x, di grado non superiore ad n. Quindi definiamo:

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