[¯|¯] La funzione zeta di Riemann e la propagazione di onde piane con velocità immaginaria

Gennaio 27th, 2018 | by Marcello Colozzo |

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Abbiamo visto che parametrizzando in maniera opportuna le variabili indipendenti, la funzione zeta di Riemann, si esprime come sovrapposizione lineare di infinite onde stazionarie.

Di seguito alcune osservazioni.

ψ_n(x+i*t) è olomorfa

in C={x+i*t | -oo

ψ_n(x,t) è dotata di derivate parziali di ordine comunque elevato e continue in C

Per un noto teorema, segue (la condizione 2 è sovrabbondante, poiché è richiesta esistenza e continuità delle derivate parziali fino al secondo ordine) che

ψ_n(x,t) è armonica in R², i.e. verifica l'equazione di Laplace:
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Da un punto di vista formale, la predetta equazione può scriversi nel piano xt, come un'equazione di D'Alembert:

Come è noto, l'integrale generale di tale equazione è:

cioè la sovrapposizione lineare di due onde piane (una progressiva e l'altra regressiva) che si propagano a velocità immaginaria. D'altra parte, ψ_n(x,t) è un'onda stazionaria, ma in senso improprio poiché la stazionarietà implica comunque un'oscillazione della parte spaziale dell'onda.

Ma abbiamo visto che in un qualunque intervallo limitato [a,b] di R, la parte spaziale u_n(x,t) può essere sviluppata in integrale di Fourier, e quindi decomposta in oscillazioni sinusoidali nella variabile x. Ne consegue che la funzione zeta nasce dall'interferenza di infinite onde stazionarie. Se la somma infinita conserva il carattere stazionario dell'onda risultante, la zeta dovrebbe esprimersi come prodotto di due funzioni, di cui una dipendente solo da x, l'altra solo da t.

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