[¯|¯] Infiniti non dotati di ordine. Infiniti di ordine infinitamente grande. Infiniti di ordine infinitamente piccolo.

Febbraio 25th, 2017 | by Marcello Colozzo |

infiniti non dotati di ordine,infiniti di ordine infinitamente grandi,infiniti di ordine infinitamente piccolo — **Fig. 1. Per x->0⁺ e per x->+oo, la funzione logaritmo è un infinito di ordine infinitamente piccolo.**

Definizioni analoghe a quelle precedenti per quanto riguarda gli infiniti. Precisamente, assegnata la classe J(x₀) degli infiniti in x₀ e l'infinito di riferimento:

può accadere
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In tale circostanza diremo che f(x) è un infinito di ordine infinitamente grande (rispetto a v(x)). Si badi che f(x) e v(x)^α sono comunque confrontabili. Pertanto, la confrontabilità è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'esistenza dell'ordine di infinito. Se invece:

diremo che f(x) è un infinito di ordine infinitamente piccolo (rispetto a v(x)).
Esempio 1
Consideriamo la funzione esponenziale
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Segue

essendo J(+oo) la classe degli infiniti per x->+oo. Assumiamo come infinito di riferimento la funzione:

Quindi calcoliamo

Applicando ripetutamente la regola di De L'Hospital
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Cioè

onde e^x è (per x->+oo) un infinito di ordine infinitamente grande.

Esempio 2
Consideriamo la funzione logaritmo
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Segue

Determiniamo l'eventuale ordine di infinito. Per x->0⁺ assumiamo come infinito di riferimento la funzione

Quindi calcoliamo
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Ne consegue che la funzione logaritmo è per x->0⁺ un infinito di ordine infinitamente piccolo. Per x->+oo assumiamo come infinito di riferimento la seguente funzione:
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Quindi calcoliamo
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Da ciò segue che la funzione logaritmo è per x->0⁺ e per x->+oo un infinito di ordine infinitamente piccolo. Ciò è simboleggiato in fig. 1
OsservazioneGli esempi visti in precedenza si generalizzano nel modo seguente: assegnato λ>0, le funzioni
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