[¯|¯] Infinitesimi non dotati di ordine. Infinitesimi di ordine infinitamente grandi. Infinitesimi di ordine infinitamente piccolo

Febbraio 24th, 2017 | by Marcello Colozzo |

In questa Lezione abbiamo introdotto la nozione di infinitesimo [infinito] dotato di ordine. Osserviamo ora che non tutti gli infinitesimi [infiniti] sono dotati di ordine. Ad esempio nel caso degli infinitesimi, assegnata la classe I(x₀) degli infinitesimi in x₀ e non definitivamente nulli intorno a tale punto, e l'infinitesimo di riferimento:

può accadere

In tale circostanza diremo che f(x) è un infinitesimo di ordine infinitamente grande (rispetto a u(x)). Si badi che f(x) e u(x)^α} sono comunque confrontabili. Pertanto, la confrontabilità è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'esistenza dell'ordine di infinitesimo. Se invece:
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diremo che f(x) è un infinitesimo di ordine infinitamente piccolo (rispetto a u(x)).
Esempio 1
Assegnata la funzione
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si ha

essendo I(+oo) la classe degli infinitesimi per x->+oo, non identicamente nulli intorno a x=+oo. Assumiamo come infinitesimo di riferimento la funzione:

per cui calcoliamo
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Applicando ripetutamente la regola di De L'Hospital:

per cui e^-x è (per x->+oo) un infinitesimo di ordine infinitamente grande.

Esempio 2
Assegnata la funzione

si ha

Assumendo come infinitesimo di riferimento

si ha

Eseguendo il cambio di variabile t=1/x e tenendo conto del risultato dell'esempio precedente.
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